《概率论与数理统计》期末试卷A (精选09)

一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）

1. 设 $A, B$ 为随机事件，且 $P(A) = 0.7$ ， $P(A - B) = 0.2$ ，则 $P(B \mid A) =$ ______

查看答案与解析

答案： $\frac{5}{7}$

解析：
第一步：求交集的概率
应用公式 $P(A-B) = P(A) - P(AB)$。代入已知数据： $0.2 = 0.7 - P(AB) \Rightarrow P(AB) = 0.5$。

第二步：计算条件概率
根据定义 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$： $P(B|A) = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$。

---

难度: ⭐
考点: #条件概率 #概率减法公式

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 条件概率定义：$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$
• 减法公式：$P(A-B) = P(A) - P(AB)$

思路分析

本题关键在于通过 $A-B$ 的概率锁定 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率。

🔄 举一反三

1. 若 $P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(A \cup B)=0.8$，求 $P(A|B)$。
   查看练习答案与解析

   答案：$0.5$
   解析：$P(AB) = 0.6+0.4-0.8 = 0.2$。$P(A|B) = 0.2/0.4 = 0.5$。

2. 三个人独立地破译一份密码, 已知三人各自能译出的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ , 则三人至少有一人能将此密码译出的概率为 ______

查看答案与解析

答案： $\frac{3}{4}$

解析：
第一步：分析对立事件
“至少一人译出”的对立事件是“三人都没译出”。

第二步：求各人失败概率
$q_1 = 1 - 1/2 = 1/2, q_2 = 1 - 1/3 = 2/3, q_3 = 1 - 1/4 = 3/4$。

第三步：计算独立试验并集概率
$P = 1 - q_1 q_2 q_3 = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。

---

难度: ⭐
考点: #相互独立性 #对立事件

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $P(\cup A_i) = 1 - P(\cap \bar{A}_i)$

思路分析

遇到“至少一个”类型，第一思路永远是求 1 减去全不发生的概率。

🔄 举一反三

1. 射击命中率为 $0.8$，至少射击几次才能使命中概率大于 $0.999$？
   查看练习答案与解析

   答案：至少 5 次
   解析：$1 - 0.2^n > 0.999 \Rightarrow 0.2^n < 0.001$。当 $n=4, 0.0016$；当 $n=5, 0.00032$。故 $n=5$。

3. 设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(3, \frac{2}{3})$ , 则概率 $P\{X \geq 1\} =$ ______

查看答案与解析

答案： $\frac{26}{27}$

解析：
$P\{X \ge 1\} = 1 - P\{X = 0\} = 1 - \binom{3}{0} (2/3)^0 (1/3)^3$$= 1 - 1/27 = 26/27$。

---

难度: ⭐
考点: #二项分布

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 二项分布 $P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

思路分析

考查二项分布计算，熟记公式即可。

🔄 举一反三

1. 求 $X \sim B(3, 1/2)$ 的期望 $E(X)$。
   查看练习答案与解析

   答案：$1.5$
   解析：$E(X) = np = 3 \times 0.5 = 1.5$。

4. 在[0,1]中随机地取两个数 $X$ 和 $Y$ ，则概率 $P\{\max(X,Y) \leq \frac{1}{2}\} =$ ______

查看答案与解析

答案： $\frac{1}{4}$

解析：
由独立性可知 $P\{X \le 1/2, Y \le 1/2\} = P(X \le 1/2)P(Y \le 1/2) = 1/2 \times 1/2 = 1/4$。

---

难度: ⭐
考点: #最大值分布 #独立性

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $F_{max}(z) = P(X \le z)P(Y \le z)$ (独立时)

思路分析

最大值小于某数，意味着每一个分量都必须小于该数。

🔄 举一反三

1. 若取三个数，概率是多少？
   查看练习答案与解析

   答案：$1/8$

5. 设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，则期望 $E[(X + 1)^2] =$ ______

查看答案与解析

答案： $11$

解析：
对于 $X \sim P(2)$，$E(X)=2, D(X)=2$。 $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 4 = 6$。 $E[(X+1)^2] = E(X^2 + 2X + 1) = 6 + 2 \times 2 + 1 = 11$。

---

难度: ⭐⭐
考点: #泊松分布 #期望性质

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 泊松分布 $E(X)=D(X)=\lambda$

思路分析

期望的线性性质 $E(aX+b) = aE(X)+b$ 以及方差与矩的关系是此类题目的通用解法。

🔄 举一反三

1. 求 $E(X^2)$ 的值。
   查看练习答案与解析

   答案：$6$

6. 将长度为 1 米的小木棒随机地截成两段, 则两段长度的相关系数为 ______

查看答案与解析

答案： $-1$

解析：
设切点为 $X$，则两段长为 $X$ 与 $1-X$。 $Y = -X + 1$。由于 $Y$ 是 $X$ 的线性函数且斜率为负，故它们完全负相关，相关系数为 $-1$。

---

难度: ⭐⭐
考点: #相关系数 #线性相关

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $\rho_{XY} = \pm 1$ 当且仅当 $Y=aX+b$。

思路分析

注意“完全相关”不仅看数值，还要看正负方向。

🔄 举一反三

1. 木棒截成三段，第一段与后两段之和的相关系数？
   查看练习答案与解析

   答案：$-1$

7. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ ，由契比雪夫不等式知 $P\{|X - \mu| \geq 3\sigma\} \leq$ ______

查看答案与解析

答案： $\frac{1}{9}$

解析：
契比雪夫不等式：$P\{|X - E(X)| \geq k\sigma\} \leq 1/k^2$。代入 $k=3$ 得 $1/9$。

---

难度: ⭐
考点: #契比雪夫不等式

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $P\{|X-\mu| \ge \epsilon\} \le \sigma^2 / \epsilon^2$

🔄 举一反三

1. 实际正态分布该概率约是多少？
   查看练习答案与解析

   答案：$0.0027$ (3-sigma准则)

8. 设独立 $X, Y \sim N(0,1)$，样本量分别为 2, 3，则 $D(\bar{X} - \bar{Y}) =$ ______

查看答案与解析

答案： $\frac{5}{6}$

解析：
$D(\bar{X}) = 1/2, D(\bar{Y}) = 1/3$。 $D(\bar{X}-\bar{Y}) = D(\bar{X}) + D(\bar{Y}) = 1/2 + 1/3 = 5/6$。

---

难度: ⭐⭐
考点: #样本均值 #方差性质

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $D(\bar{X}) = \sigma^2 / n$

🔄 举一反三

1. 若求 $D(\bar{X} + \bar{Y})$？
   查看练习答案与解析

   答案：$5/6$

9. 设 $X \sim F(n, n)$ , $P\{X > \alpha\} = 0.05$ , 则 $P\{X > 1/\alpha\} =$ ______

查看答案与解析

答案： $0.95$

解析：
由 F 分布性质，$1/X \sim F(n,n)$。 $P(X > 1/\alpha) = P(1/X < \alpha) = 1 - P(1/X > \alpha) = 1 - 0.05 = 0.95$。

---

难度: ⭐⭐⭐
考点: #F分布

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $P(X \le F_{1-\alpha}(n,m)) = 1-\alpha$ :::

🔄 举一反三

1. $X \sim F(5,5), P(X > c) = 0.05$，求 $P(X < 1/c)$。
   查看练习答案与解析

   答案：$0.95$

10. 设 $X_1, X_2$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。给出 $\mu$ 的三个无偏估计量：

$$\hat{\mu}_1 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2$$

$$\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2$$

$$\hat{\mu}_3 = \frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2$$

则这三个估计量中方差最小（最有效）的是 ______

查看答案与解析

答案： $\hat{\mu}_1$

解析： 本题考查点估计的有效性比较。

第一步：理解有效性的定义 对于同一个参数的多个无偏估计量，方差越小的估计量越有效。

第二步：计算各估计量的方差 因为 $X_1, X_2$ 独立同分布于 $N(\mu, \sigma^2)$，故 $D(X_1) = D(X_2) = \sigma^2$。

• 对于 $\hat{\mu}_1$：
  $$D(\hat{\mu}_1) = D\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(X_1) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(X_2) = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)\sigma^2 = 0.5\sigma^2$$
• 对于 $\hat{\mu}_2$：
  $$D(\hat{\mu}_2) = D\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2\right) = \left(\frac{1}{9} + \frac{4}{9}\right)\sigma^2 = \frac{5}{9}\sigma^2 \approx 0.556\sigma^2$$
• 对于 $\hat{\mu}_3$：
  $$D(\hat{\mu}_3) = D\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2\right) = \left(\frac{1}{16} + \frac{9}{16}\right)\sigma^2 = \frac{10}{16}\sigma^2 = 0.625\sigma^2$$

第三步：比较方差大小

$$0.5\sigma^2 < 0.556\sigma^2 < 0.625\sigma^2$$

方差最小的是 $\hat{\mu}_1$，因此最有效。

---

难度: ⭐⭐ 考点: #有效性 #无偏估计量方差

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $D(aX+bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y)$ （$X, Y$ 独立时）

---

二、单选题（每小题 3 分，共 15 分）

1. 设 $A, B, C$ 相互独立, 则 $A \cup B$ 与 $C$ ( )
   • A. 相容
   • B. 不相容
   • C. 相互独立
   • D. 不相互独立

查看答案与解析

答案：C
解析：由相互独立的性质可知，事件经组合后的新事件仍与其余独立事件保持独立。

---

难度: ⭐ 考点: #独立性性继承

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 独立性扩展定理。

🔄 举一反三

1. $AB$ 与 $C$ 是否独立？ 是。

2. 可作为分布函数的是 ( )
   • A. $1/(1+x^2)$
   • B. $1/2 + (1/\pi)arctanx$
   • C. $1-e^x$
   • D. 阶梯函数

查看答案与解析

答案：B
解析：B 符合单调不减且极限为 0 和 1 的要求。

---

难度: ⭐⭐ 考点: #分布函数条件

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $F(-\infty)=0, F(+\infty)=1$。 :::

🔄 举一反三

1. $F(x) = e^x/(1+e^x)$ 是分布函数吗？
   查看练习答案与解析

   答案：是（Logistic 分布）。

3. 设二维连续型随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$，边缘概率密度为 $f_X(x)$ 且 $f_X(x) > 0$。则在条件 $X=x$ 下，$Y$ 的条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$ 的计算公式为（ ）
   • A. $f(x,y) f_X(x)$
   • B. $\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$
   • C. $\frac{f_X(x)}{f(x,y)}$
   • D. $\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

查看答案与解析

答案： D

解析： 本题考查条件概率密度的定义式。

第一步：回顾条件密度公式 对于二维连续型随机变量 $(X,Y)$，在 $f_X(x) > 0$ 的条件下，$Y$ 的条件概率密度定义为：

$$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$

故选 D。

---

难度: ⭐ 考点: #条件概率密度

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 对应离散型的条件概率公式：$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$。 :::

🔄 举一反三

1. $f(x,y)=2 \ (0<x<y<1)$，求 $f_{Y|X}(y|x)$。
   查看练习答案与解析

   答案：$\frac{1}{1-x} \ (x<y<1)$

4. 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 未知。$X_1, \dots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本。在置信度为 $1-\alpha$ 下，求解总体均值 $\mu$ 的置信区间时，应选用的统计量服从的分布是（ ）
   • A. $N(0, 1)$
   • B. $\chi^2(n-1)$
   • C. $F(1, n-1)$
   • D. $t(n-1)$

查看答案与解析

答案： D

解析： 本题考查正态总体参数区间估计中统计量的选择。

第一步：分析已知与未知条件

• 总体为正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$。
• 均值 $\mu$ 未知（待估计）。
• 方差 $\sigma^2$ 未知。

第二步：选择统计量 由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们必须用样本方差 $S^2$ 来代替 $\sigma^2$。 构造的标准化统计量为：

$$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$$

该统计量服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，即 $t(n-1)$。

故选 D。

---

难度: ⭐⭐ 考点: #区间估计 #t分布 #方差未知

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 若 $\sigma^2$ 已知，则使用 $U = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。 :::

🔄 举一反三

1. $\sigma^2$ 已知时，$\mu$ 的置信区间用什么分布？
   查看练习答案与解析

   答案：$N(0,1)$（U 统计量）。

5. 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 未知。要检验假设 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$，应选用的检验统计量为（ ）
   • A. $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$
   • B. $T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$
   • C. $U = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
   • D. $F = \frac{S_1^2}{S_2^2}$

查看答案与解析

答案： A

解析： 本题考查正态总体方差的假设检验（卡方检验）。

第一步：分析检验目标 目标是检验单正态总体的方差是否等于某已知常数 $\sigma_0^2$。

第二步：选择统计量 根据抽样分布定理，统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。 在 $H_0$ 成立的条件下，代入 $\sigma^2 = \sigma_0^2$，得到检验统计量：

$$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$$

故选 A。

---

难度: ⭐⭐ 考点: #方差假设检验 #卡方检验

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 样本方差定义：$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})^2$。 :::

🔄 举一反三

1. 检验 $\sigma^2 = 4$，$n=20, S^2=5$，求检验统计量值。
   查看练习答案与解析

   答案：$\chi^2 = 23.75$

---

三、解答题

1. （10 分）设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 0 \\ x^3, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{array} \right.$ （1）求 $X$ 的概率密度函数 $f_X(x)$； （2）设 $Y = e^X$，求 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$。

查看答案与解析

答案： (1) $f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 3x^2, & 0 \leq x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$ (2) $f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{3(\ln y)^2}{y}, & 1 \leq y < e \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$

解析：第一步：求 $X$ 的概率密度 $f_X(x)$ 在 $F(x)$ 的可导点处，有 $f_X(x) = F'(x)$。

• 当 $0 < x < 1$ 时，$f_X(x) = (x^3)' = 3x^2$。
• 当 $x < 0$ 或 $x > 1$ 时，$f_X(x) = 0$。 故 $f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 3x^2, & 0 \leq x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$。

第二步：求 $Y = e^X$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 采用分布函数法。设 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(y)$。

$$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^X \leq y)$$

• 当 $y < 1$ 时，$P(e^X \leq y) = 0$。
• 当 $1 \leq y < e$ 时：
  $$F_Y(y) = P(X \leq \ln y) = F_X(\ln y) = (\ln y)^3$$
• 当 $y \geq e$ 时，$F_Y(y) = 1$。

对 $F_Y(y)$ 求导得 $f_Y(y)$： 当 $1 < y < e$ 时，$f_Y(y) = \frac{d}{dy} [(\ln y)^3] = 3(\ln y)^2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3(\ln y)^2}{y}$。 其余区域为 0。

---

难度: ⭐⭐ 考点: #分布函数求导 #函数分布

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 复合函数求导法则。 :::

🔄 举一反三

1. $F(x)=1-e^{-2x} \ (x>0), Y=X^2$，求 $f_Y(y)$。
   查看练习答案与解析

   答案：$f_Y(y) = \frac{e^{-2\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} \ (y>0)$

2. （10 分）设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{1-x}, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$ （1）求边缘概率密度 $f_X(x)$ 与 $f_Y(y)$； （2）求概率 $P(Y > 2X)$。

查看答案与解析

答案： (1) $f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{ll} -\ln(1-y), & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$ (2) $P(Y > 2X) = 1 - \ln 2$

解析：第一步：求边缘密度

• 求 $f_X(x)$： 当 $0 < x < 1$ 时：
  $$f_X(x) = \int_{x}^{1} \frac{1}{1-x} dy = \left[ \frac{y}{1-x} \right]_{y=x}^{y=1} = \frac{1-x}{1-x} = 1$$
• 求 $f_Y(y)$： 当 $0 < y < 1$ 时：
  $$f_Y(y) = \int_{0}^{y} \frac{1}{1-x} dx = [-\ln(1-x)]_{0}^{y} = -\ln(1-y)$$

第二步：计算概率 $P(Y > 2X)$ 积分区域为 $D = \{(x,y) \mid 0 < x < y < 1, y > 2X\}$。 由 $y=x$ 与 $y=2x$ 及 $y=1$ 围成的区域，交点为 $(0.5, 1)$。

$$P(Y > 2X) = \int_{0}^{1/2} \left( \int_{2x}^{1} \frac{1}{1-x} dy \right) dx$$

$$= \int_{0}^{1/2} \frac{1-2x}{1-x} dx = \int_{0}^{1/2} \frac{2(1-x)-1}{1-x} dx = \int_{0}^{1/2} \left( 2 - \frac{1}{1-x} \right) dx$$

$$= [2x + \ln(1-x)]_0^{1/2} = 1 + \ln(0.5) = 1 - \ln 2$$

---

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #边缘密度积分 #区域概率

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 边缘密度：$f_X(x) = \int f(x,y)dy$
• 区域概率：$P((X,Y) \in D) = \iint_D f(x,y)dxdy$

思路分析

先确定积分上下限，再逐层积分。

🔄 举一反三

1. $f(x,y)=2 \ (0<x<y<1)$，求 $P(X<0.5)$。
   查看练习答案与解析

   答案：$0.75$

3. （10 分）设随机点 $(X,Y)$ 在正方形区域 $G = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$ 内服从均匀分布。定义离散型随机变量 $U$ 和 $V$ 如下：
   $$U = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq 0.5, 0 \leq y \leq 0.5 \\ 1, & \text{其他} \end{array} \right.$$
   $$V = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq 0.5 \\ 1, & \text{其他} \end{array} \right.$$
   （1）求 $(U,V)$ 的联合分布律； （2）判断 $U$ 与 $V$ 是否独立； （3）求 $Z = U+V$ 的分布律。

查看答案与解析

答案： (1) 联合分布律表：

$U \setminus V$	0	1
0	$1/4$	0
1	$1/4$	$1/2$

(2) 不独立。

(3) $Z$ 的分布律：

$Z$	0	1	2
$P$	$1/4$	$1/4$	$1/2$

解析：第一步：通过几何概率计算联合概率 联合分布区域面积为 1。

• $P(U=0, V=0) = P(0 \leq X \leq 0.5, 0 \leq Y \leq 0.5) = 0.5 \times 0.5 = 1/4$。
• $P(U=0, V=1)$：由于 $U=0 \Rightarrow X \leq 0.5 \Rightarrow V=0$，故此事件为不可能事件，概率为 0。
• $P(V=0) = P(X \leq 0.5) = 0.5 = 1/2$。 故 $P(U=1, V=0) = P(V=0) - P(U=0, V=0) = 1/2 - 1/4 = 1/4$。
• $P(U=1, V=1) = P(V=1) - P(U=0, V=1) = 1/2 - 0 = 1/2$。

第二步：判断独立性$P(U=0) = 1/4$，$P(V=1) = 1/2$。 而 $P(U=0, V=1) = 0 \neq P(U=0)P(V=1)$，故不独立。

第三步：求 $Z=U+V$ 的分布律$Z$ 可能取值为 0, 1, 2。

• $P(Z=0) = P(U=0, V=0) = 1/4$。
• $P(Z=1) = P(U=0, V=1) + P(U=1, V=0) = 0 + 1/4 = 1/4$。
• $P(Z=2) = P(U=1, V=1) = 1/2$。

---

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #几何概率 #二维离散分布

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 均匀分布下概率 = 面积比
• 独立性检验：$P(U=i, V=j) = P(U=i)P(V=j)$

思路分析

利用几何概率求联合分布，再检验独立性和求和的分布。

🔄 举一反三

1. $(X,Y)$ 在 $[0,1]^2$ 上均匀，$U=I(X>0.5), V=I(Y>0.5)$，判断独立性。
   查看练习答案与解析

   答案：独立。

4. （10 分）设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从标准正态分布 $N(0, 1)$。令随机变量 $Z = \sqrt{3}Y + \frac{1}{3}$。 （1）求 $E(Z)$ 与 $D(Z)$； （2）求 $X$ 与 $Z$ 的协方差 $Cov(X,Z)$ 及相关系数 $\rho_{XZ}$。

查看答案与解析

答案： (1) $E(Z) = \frac{1}{3}$, $D(Z) = 3$ (2) $Cov(X,Z) = 0$, $\rho_{XZ} = 0$

解析：第一步：求解期望与方差 已知 $E(Y) = 0$，$D(Y) = 1$。

• $E(Z) = E\left(\sqrt{3}Y + \frac{1}{3}\right) = \sqrt{3}E(Y) + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$。
• $D(Z) = D\left(\sqrt{3}Y + \frac{1}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 D(Y) = 3 \times 1 = 3$。

第二步：求解协方差与相关系数 由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，故 $Cov(X, Y) = 0$。

• $Cov(X, Z) = Cov\left(X, \sqrt{3}Y + \frac{1}{3}\right) = \sqrt{3}Cov(X, Y) = 0$。
• $\rho_{XZ} = \frac{Cov(X,Z)}{\sqrt{D(X)D(Z)}} = \frac{0}{\sqrt{1 \times 3}} = 0$。

---

难度: ⭐⭐ 考点: #期望方差性质 #独立不相关

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $E(aX+b) = aE(X)+b$
• $D(aX+b) = a^2 D(X)$
• 独立 $\Rightarrow$ 不相关

思路分析

利用期望和方差的线性性质，以及独立性的协方差为零。

🔄 举一反三

1. $X,Y$ 独立，$E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=3, D(Y)=4$，求 $Cov(2X, 3Y)$。
   查看练习答案与解析

   答案：$0$

5. （10 分）设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其概率密度为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$，其中 $\lambda > 0$ 为未知参数。$X_1, \dots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本。 求参数 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_M$ 和极大似然估计量 $\hat{\lambda}_L$。

查看答案与解析

答案：$\hat{\lambda}_M = \frac{1}{\bar{X}}$，$\hat{\lambda}_L = \frac{1}{\bar{X}}$

解析：第一步：求矩估计量 指数分布的理论期望为 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$。 令 $E(X) = \bar{X}$ 得：

$$\frac{1}{\lambda} = \bar{X} \Rightarrow \hat{\lambda}_M = \frac{1}{\bar{X}}$$

第二步：求极大似然估计量 写出似然函数：

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(X_i) = \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda X_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum X_i}$$

取对数：

$$\ln L(\lambda) = n\ln\lambda - \lambda \sum_{i=1}^n X_i$$

对 $\lambda$ 求导并令其为 0：

$$\frac{d\ln L}{d\lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n X_i = 0$$

解得：

$$\hat{\lambda}_L = \frac{n}{\sum X_i} = \frac{1}{\bar{X}}$$

---

难度: ⭐⭐ 考点: #矩估计 #极大似然估计

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 指数分布 $E(X) = 1/\lambda$
• MLE 步骤：似然函数 → 对数 → 求导 → 解方程

思路分析

指数分布的矩估计和 MLE 结果相同，都是 $\hat{\lambda} = 1/\bar{X}$。

🔄 举一反三

1. $X \sim Exp(\theta)$，样本 $2,3,5$，求 $\theta$ 的 MLE。
   查看练习答案与解析

   答案：$0.3$

---

四、应用题（本题 10 分）

1. 某批产品由特等品、一等品、二等品组成，其占比分别为 $\frac{1}{6}, \frac{2}{3}, \frac{1}{6}$。现从中随机抽取一件，记该件产品的等级为 $X$（特等品记为 0，一等品记为 1，二等品记为 2）。 （1）求随机变量 $X$ 的分布律； （2）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$； （3）若已知特等品、一等品、二等品的次品率分别为 $0$、$\frac{1}{4}$、$\frac{2}{4}$。现从这批产品中任取一件，求抽到次品的概率 $P(D)$。

查看答案与解析

答案： (1) $X$ 的分布律：

$X$	0	1	2
$P$	$1/6$	$2/3$	$1/6$

(2) $E(X) = 1$

(3) $P(D) = \frac{1}{4}$

解析：第一步：写出 $X$ 的分布律并求期望 根据题意，$X$ 的可能取值为 0, 1, 2，对应的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{2}{3}, \frac{1}{6}$。 期望为：

$$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{1}{6} = 0 + \frac{4}{6} + \frac{2}{6} = 1$$

第二步：应用全概率公式求次品率 设事件 $D$ 为“抽到次品”。 已知条件概率为：

• $P(D|X=0) = 0$
• $P(D|X=1) = \frac{1}{4}$
• $P(D|X=2) = \frac{2}{4}$

由全概率公式：

$$P(D) = \sum_{i=0}^2 P(X=i) P(D|X=i)$$

$$= \frac{1}{6} \times 0 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{2}{4} = 0 + \frac{2}{12} + \frac{2}{24} = \frac{4+2}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$$

---

难度: ⭐⭐ 考点: #期望定义 #全概率公式

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• 离散期望：$E(X) = \sum x_i p_i$
• 全概率：$P(D) = \sum P(A_i)P(D|A_i)$

思路分析

先写出分布律求期望，再用全概率公式求次品率。

🔄 举一反三

1. 产品分 A/B/C 三等，占比 0.5/0.3/0.2，次品率 0.01/0.03/0.05，求总次品率。
   查看练习答案与解析

   答案：$0.024$

---

五、证明题（本题 5 分）

1. 设 $X_1, \dots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差。证明统计量：
   $$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$$
   服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布。

查看答案与解析

证明：第一步：分子标准化 已知样本均值 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。 对其进行标准化处理，构造标准正态分布变量：

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$$

第二步：利用抽样分布定理分析分母 根据正态总体的抽样分布定理，样本方差 $S^2$ 满足：

$$Y = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$

且已知在正态总体中，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 是相互独立的。

第三步：根据 $t$ 分布的定义进行构造$t$ 分布的定义为：若 $Z \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(k)$，且 $Z$ 与 $Y$ 独立，则统计量 $\frac{Z}{\sqrt{Y/k}} \sim t(k)$。 本题中取自由度 $k = n-1$，代入构造：

$$T = \frac{Z}{\sqrt{Y/(n-1)}} = \frac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \Big/ (n-1)}} = \frac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\frac{S}{\sigma}} = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$$

由于 $Z$ 与 $Y$ 独立，故 $T$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，即 $T \sim t(n-1)$。证毕。

---

难度: ⭐⭐⭐ 考点: #t分布的定义 #抽样分布定理

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

• $t$ 分布定义：$Z \sim N(0,1), Y \sim \chi^2(k)$ 独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{Y/k}} \sim t(k)$
• $\bar{X}$ 与 $S^2$ 在正态总体下独立

思路分析

分子标准化得 $N(0,1)$，分母利用 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，按 $t$ 分布定义构造。

🔄 举一反三

1. 若 $\sigma^2$ 已知，$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 服从什么分布？
   查看练习答案与解析

   答案：$N(0,1)$